Bu haftaki konuğumuz süreklilik hipotezi üzerine yaptığı önemli çalışmayla tanınan Paul Cohen. Kanıtında, kendi geliştirdiği forcing yöntemini kullanmış, bunu Türkçeye “zorlama” ya da “zor kullanma” diye çevirebiliriz. Süreklilik hipotezi gibi seçim aksiyomunun da kümeler kuramının aksiyomlarından bağımsız olduğunu göstermiştir.
Paul Cohen 1936 yılında Polonya’dan ABD’ye göçen Yahudi bir ailenin oğlu olarak dünyaya gelir. Küçüklüğünde matematik yarışmalarına katılıp iyi sonuçlar alan mucize bir çocuk olarak görülür. Daha mezun olmadan Chicago Üniversitesinin lisansüstü programına kayıt olma şansını elde eden genç matematikçi, Brooklyn Kolejindeki lisans eğitimini tamamlamadan terkeder.
Cohen matematiğin birçok alanıyla ilgilenir. Onu en çok cezbeden konulardan bahsederken “güncel”, “kapsayıcı” ya da “meta” gibi sözcükleri kullanabiliriz. Örneğin fakültedeki arkadaşlarına çalıştıkları dalların en önemli sorularının ne olduğunu sorma gibi bir huy edinmiştir. Cohen’i en çok ilgilendiren sorular onlardır. André Weil gözetiminde, sayılar kuramı konusunda yüksek lisans yaparken bu konunun mantıksal temellerinin daha çok ilgisini çektiğini farkeder. Bazen bu alandaki bir sonuç karar verilebilir bir önerme midir gibi bir soru onu sonucun kendisinden daha çok ilgilendirmektedir: Bir polinom denkleminin çözümünün olup olmadığına karar veren bir algoritma var mıdır sorusu gibi…
Doktora tezini 1958’de trigonometrik serilerin biricikliği üzerine yazan Cohen, ilgileneceği bir sonraki problemi ise kümeler kuramından seçer. 1962 yılında üzerinde çalışmaya başladığı süreklilik hipotezinin zorluğu o kadar meşhurdur ki yüzyılın başında Hilbert’in sıraladığı en önemli 23 açık problem listesine girmiştir. 1964’te Stanford’ta profesörlük ünvanı aldığında bu hipotez üzerine ünlü kanıtını tamamlamıştır. Bundan iyi yıl sonra da Fields madalyası ile ödüllendirilir.
Cohen’in ilgilendiği süreklilik hipotezini anlamak için matematiğin sonsuzla ilişkisine bakmak gerekir. Matematikte sonsuza birçok yerde rastlayabiliriz. Analizde sonsuza giden seriler, topolojide sonsuz uzay, cebirde sonsuz mertebeli grup, bilgisayar biliminde sonsuz döngüler vardır, buna rağmen matematikteki sonsuzun tüm bu ifadeleri aynı anda açıklayan tek bir tanımı yoktur. Cantor’un kümeler kuramı ile birlikte sonsuz eleman içeren kümelerin de birer matematiksel nesne olabileceği anlaşılır, sözgelimi sayılabilir ve sayılamaz sonsuzluk olduğu ve sonsuz kümelerle aritmetik işlemler yapılabileceği görülür. Cantor’un gösterdiği şekliyle doğal sayılar sayılabilir sonsuzlukta ama reel sayılar sayılamaz sonsuzluktadır. Cantor doğal sayıların eleman sayısının (yani kardinalitesinin) reel sayılarınkinden küçük olduğu sonucuna ulaşır. Peki aralarında ara büyüklükte bir küme var mıdır? Böyle bir kümenin olmadığını varsayımını Süreklilik Hipotezi olarak adlandırıyoruz.
Hilbert de dahil birçok matematikçi süreklilik hipotezini ispatlamaya çalışsa da başarılı olamaz. Gödel yaklaşık 50 yılın ardından kanıta dair önemli bir sonuca ulaşır: Süreklilik hipotezinin kümeler kuramının aksiyomlarıyla, yani bugün matematikçilerin çoğunun kabul ettiği temel aksiyom sistemiyle tutarlı olduğunu gösterir. Bu süreklilik hipotezin doğruluğunun kanıtlanabileceği değil ama yanlışlığının kanıtlanamayacağı anlamına gelmektedir. Cohen ise zorlama yöntemiyle, yani daha büyük bir kümeler kuramı modeli inşa ederek, aynı aksiyomların doğru olduğu fakat süreklilik hipotezinin yanlış olduğu bir evrenin de tutarlı olduğunu gösterir. İki sonuç bir araya getirilince, hipotezin doğruluğunun da yanlışlığının da gösterilemeyeceği anlaşılır. Dolayısıyla bu hipotezin bir aksiyom olarak kabul etmek tercihe kalmıştır. Mesela matematikçiler bu aksiyomu kabul ettikleri takdirde daha sonra çıkacak sonuçların “doğallığına” bakıp aksiyomu benimseyip benimsememeye karar verebilirler. Aksiyomun kabul edilip edilmemesi gerektiği matematikçiler arasında tartışmalı bir konu olarak kalır.
Cohen neticede süreklilik hipotezinin kanıtlanamaz olduğunu göstermiştir. Bu da hipotezi artık matematiğin bir konusu olmaktan çıkarıp felsefeye dahil etmiştir denilebilir. Kanıtını sunduğu kitabının sonlarına doğru bu kanıt etrafında oluşabilecek farklı düşüncelere de yer verir. Cohen’in aktardığı haliyle sonlu matematiği savunanlar, matematikte sadece sonlu olan nesnelerle ilgilenebileceğimizi ve sonsuz nesneler hakkında gerçekten bilgi sahibi olamayacağımızı söylerler. Aritmetiğin ve analizin tam sayılar üzerine inşa edilmesi gerektiğini savunan Kronecker örnek olarak verilebilir. Bu düşünceye göre doğal sayıların varlığı kabul edilse bile, doğal sayıların tamamını barındıran küme, matematiksel bir nesne olarak kabul edilmemelidir. Süreklilik hipotezi bir yana kümeler kuramı bile, matematiksel nesneleri tanımlamamıza ve özelliklerini tarif etmemize yarayan temel kısmı haricinde reddedilmelidir. Bir diğer yaklaşıma göre ise birden fazla matematiksel gerçeklik inşa etmek mümkündür. Ulaştığı sonuç itibariyle bu son görüşe daha yakın olacağı düşünle de, Cohen günün birinde hipotezin yanlış olduğuna bariz bir biçimde karar verileceğine inanır. Ona göre kümelere birer birer eleman ekleyerek evreni kapsayabileceğimizi düşünmek saçmadır.
Kaynakça
- Paul Cohen, Set Theory and the Continuum Hypothesis, 1966, W.A. Benjamin.
- Gabriel Sabbagh, “ Cohen Paul Joseph (1934-2007) “, Encyclopædia Universalis.
- MacTutor Matematik Tarihi Arşivi: Paul Cohen.
- Jean-Paul Delahaye,”En finir avec l’hypothèse du continu”, Pour la science, n° 504, 2019.
