George Boole’un matematiğe katkısı, matematiksel mantığın bir dalı haline gelecek Boole cebirinin keşfidir. Bertrand Russell’a göre Boole’un bu cebiri ortaya attığı Düşüncenin Yasaları eseri ile “saf matematik” icat edilmiş olur. Stephen Hawking’ın aktarımına göre ise Boole’un yeni cebirinin en büyük başarısı, idempotency, yani eşgüçlülük yasasını öne çıkarmasıdır.
Boole mantık alanını aritmetik özelliklerle buluşturmaya çalışan ilk kişi değildir. Ondan önce Leibniz ve De Morgan gibi isimlerin denemelerinden, hatta on yıllar sonra Frege’nin de Boole’dan habersiz olarak yaptığı benzer çalışmalardan söz etmek mümkün. Yine de Boole’un özgün çalışması sadece ilerde bilgisayar bilimi gibi alanlara uygulanmakla kalmayıp, farklı soyut cebirlerin ortaya çıkmasına katkı sağlayacak güçtedir. Kimilerine göre yaşadığı dönemde hak ettiği ilgiyi göremeyen Boole’un başarısının kaynağı kendi kendini yetiştirmiş bir matematikçi olmasında ve hayatının ilk dönemlerinde aranmalıdır.
Boole İngiltere’nin kuzeyindeki Lincoln’de dünyaya gelir. Babası aslında ayakkabıcı olmakla beraber, bilimsel aletlerle, özellikle teleskopların yapımıyla ilgilidir. Oğluyla beraber geçirdikleri vaktin çoğunu mikroskop, teleskop ve güneş saati benzeri aletler yapmaya harcarlar. Sessiz ve çekingen bir yapıya sahip olan Boole öğrenmeye çok meraklıdır. Mahallesindeki yerel bir kitap satıcısından Latince öğrenir, daha sonra kendi kendine çalışarak Antik Yunanca da öğrenip bu dilde çeviriler yapmaya başlar. Bir yandan da kuvvetli bir dini inançla büyütülür. Zamanla dillere olan ilgilisinin de etkisiyle teoloji üzerine okumalar yaparak tanrının birliğini yaşıtlarından ve ailesinden daha radikal şekilde savunan ve kilisenin öğretisine pek uymayan bir inanca sahip olur.
Ailesinin maddi durumu Oxford ve Cambridge gibi okullara gitmesine mani olmaktadır, alışılmadık dini görüşleri ise bunu zaten imkansız kılar. Eğitim almaktan hepten vazgeçip tersi bir yolu, okullarda asistan eğitimci olmayı seçer. Birkaç okulda öğretmenlik yaparak deneyim kazandıktan sonra, Lincoln’de kendi matematik akademisini kurmaya karar verir. Burada bir yandan ders verirken, bir yandan da araştırma yapmaya vakit ayıran Boole, zamanın ünlü matematikçisi De Morgan’la mektuplaştıktan sonra, 1838 yılında “Calculus of variations” (değişim hesabı) üzerine ilk makalesini yayınlar. İlerleyen yıllarda da çalışmalarına devam eder. 1943 yılında Royal Society’ye gönderdiği makalesi bir takım tartışmalara yol açar, zira kimse Boole’u tanımamaktadır. Nihayetinde makalesi sadece yayınlanmakla kalmayıp altın madalya ile ödüllendirilir. Boole, bu başarısına rağmen matematikçilerle tanışıp konuşmaktan geri duracak kadar kendine güvensizdir. 30 yaşına geldiğinde Cambridge’ten lisans derecesi almayı bile aklından geçirir ama bu düşüncesini gerçekleştirmez.
Analiz ve olasılıkla özel olarak ilgilenen Boole, bu konuların mantıksal temelleri üzerine düşünür. On a general method in analysis (Analizde genel bir yöntem üzerine) isimli çalışmasında analizde kullanılan nesnelerin yapıları ve ifade biçimlerini ele alır. Ona göre ilerleme kaydedebilmek için, analizde kullanılan semboller ve nasıl bir araya getirildikleri ile ilgili genel kurallar belirlemek gereklidir. The Laws of Thought (Düşüncenin Yasaları) isimli eseri bu anlamda çok önemlidir. Boole’un zamanında klasik mantığın cebirsel özellikler bakımından çok da gelişmiş olmadığı söylenebilir. Bunun sebebi klasik mantıktaki işlemlerin aritmetiğinin “geçişlilik” (transitivity) özelliği ile sınırlı olmasıdır. Örneğin “tüm X’ler Y ise ve tüm Y’ler Z ise, tüm X’ler Z’dir” cinsinden bir çıkarım bu özelliği ifade eder. Boole kitabında mantıksal önermeler arasındaki ilişkileri ifade etmek için farklı türde bir cebire ihtiyaç olduğunu söyler.
Klasik mantıkta karşılaşabileceğimiz “tüm X’ler Y’dir” şeklindeki cümleyi düşünelim. Boole cebirinde bu önerme farklı şekilde ifade edilir. Öncelikle X ve Y’ler birer sınıfa, dolayısıyla da o sınıfın belirttiği özelliğe karşılık gelmektedir. Sınıfların kesişimi çarpmayla (XY), birleşimleri de -ortak elemanları olmadığı sürece- toplamayla (X+Y) ifade edilir. Örneğin XY=X, “X ve Y’nin kesişimleri X’dir” anlamına gelir, dolayısıyla “tüm X’ler Y’dir” önermesini karşılamış olur. Diğer bir yandan, eğer Y’nin yerine X koysaydık, elimize XX=X eşitliği geçecekti. Tüm sınıflar için geçerli olacak bu özellik X²=X şeklinde de yazılabilir. Denkleme göre X’in işleme tekrar sokulması sonucu değiştirmez, buna eşgüçlülük yasası denir. Bu yasayı sağlayan elemanlar Boole cebirini meydana getiren değişkenlerdir (Boole’un sunduğu ilk haline göre, aritmetikte X²=X denklemini sadece 0 ve 1 sağladığı için, önermelerin denk geldiği işlemlerin sonuçları da 0 ya da 1 olur). Boolean değerleri denen 0 ve 1, boş küme ve evrensel küme ya da “doğru” ve “yanlış” olarak düşünülebilir. İşlemi sürdürürsek X(1-X)=0 elde ederiz. Bu ise çelişmezlik yasasıdır. Yani bir nesne aynı anda hem X hem de X’in tersi bir özelliğe sahip olamaz. Klasik mantığa göre mantıksal çıkarımlarımızı yapmak için eşgüçlülüğe ve çelişmezliğe aynı ölçüde, yasa düzeyinde ihtiyacımız vardı. Boole’un ortaya koyduğu şekliyle ise çelişmezlik, eşgüçlülük yasasının bir matematiksel sonucu olarak karşımıza çıkar.
Benzer şekilde çarpmanın toplama üzerinde dağılması özelliği de mantıksal önermeler üzerindeki işlemlere aktarılabilir. Mesela solak olma özelliği, İngilizler ve Fransızlar diye iki sınıfa dağılabilir. Solak olma özelliğine Z, İngiliz ve Fransız sınıflarına X ve Y dersek: Z(X+Y)=ZX+ZY olur.
Boole’un mantıksal yasalara olan bu ilgisinin tüm çalışmalarının ortak noktası olduğunu söyleyebiliriz. Örneğin 1950-53 yılları arasında olasılık konusunu da benzer şekilde ele alarak, Boole cebirini olasılık konusunun temeline yerleştirmeyi hedefler, fakat bu yaklaşımı o yıllarda matematikçiler arasında kabul görmez. Boole’un işlemleri cebirsel olarak kolaylaştırmak adına fazladan varsayımlar eklediğini öne sürerler.
Boole’un bu yasaların gerekliliğine ve matematikle ilişkisine dair düşünce akışını şöyle özetleyebiliriz: Öncelikle bilim yapmak için genel yasalara ihtiyaç duyuyoruz. Tek tek bilimsel gerçekleri anlamak ya da açıklamak bize yetmiyor, arkalarındaki yasayı merak ediyoruz. Ancak evrene ve maddeye dair bu kuralların keşfedilebilir olduğunu varsaysak bile zihnin onlara nasıl ulaşabileceği sorusunu sormaya devam edebiliriz. Boole bu soruya zihnin de belli yasalara tabi olduğunu söyleyerek cevap verir. Bu yasalar da sembolik mantığın yasalarıdır.
Boole zatürre sebebiyle 50 yaşında vefat eder. Trinity ve Oxford ölümünden sonra ona onursal doktora unvanı verir. İlerleyen yıllarda bilgisayar bilimindeki doğru ve yanlış değeri alan nesneler “boolean” olarak adlandırılır. Günümüzde ise, Boole en çok bilgisayar biliminde kullanılan aritmetiği geliştiren kişi sıfatıyla anılıyor.
Kaynakça
- Hawking, S. 2007, God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history, New ed, Philadelphia, Running Press.
- MacTutor Matematik Tarihi Arşivi: George Boole.
- MacHale D., 2014, The life and work of George Boole: a prelude to the digital age, Cork, Ireland, Cork University Press.
