Alanına ve sonuçlarına doktora tezleri sadece komiteyle sınırlı kalabileceği gibi büyük bir gruba da hitap edebiliyor. Bununla beraber, doktora teziyle Hilbert’in açık problemlerinden birini çözen çok kişi yoktur (Zaten en fazla 23 kişi olabilmesi beklenir.). Bu hafta doktora sırasında Diophantus denklemlerinin tam sayılarda çözümü olup olmadığını hesaplayan bir algoritma geliştirmenin imkânsız olduğunu ispatlayan Yuri Matiyasevich’ten bahsedeceğiz.
Matiyasevich 1947 yılında, Sovyet Rusya’da doğar. Çocukluğunda yaşadığı sağlık sorunları nedeniyle ara ara hastahanede yatmak zorunda kalır, burada büyük sayılarda çıkartma yaparak oyalanır. Gittiği okullarda iyi bir matematik eğitimi alır ve matematik olimpiyatlarına katılmaya başlar. Moskova’da gerçekleşen 1964 Uluslararası Matematik Olimpiyatları’nda aldığı altın madalya, Leningrad (şimdiki adıyla St. Petersburg) Devlet Üniversitesi Matematik Bölümü’ne sınavsız olarak girebilmesini sağlar. Oradan da doktorası için USSR Bilim Akademisi’ne geçer.
Bu süreçte Hilbert’in 10. problemi ile ilgili çalışmalar yapar, makaleler yayınlar. Böyle ünlü bir soruyla uğraşmak hem riskli bir hamledir hem de çevresindekilerin onunla dalga geçmesine sebep olur: “10. problemin çözülemeyeceğini kanıtladın mı? Bak kanıtlayamazsan mezun etmeyiz seni ha!”. Doktoraya başlayınca bu hevesten vazgeçip başka sorulara yönelmesi gerektiğine ikna olur. Olur olmasına da Julia Robinson konuyla ilgili yeni bir makale yayınlayınca okumaktan kendini alamaz. Robinson’un kullandığı yeni fikirlerin verdiği heyecanla tekrar soruya döner ve 1970’te, sorunun sorulmasından 70 yıl sonra çözüm olmadığı kanıtlanır.
Peki nedir bu 10. soru? Diophantus denklemlerinde, sonlu değişkenli ve tam sayı katsayılı polinomların tam sayı çözümlerine bakıyoruz: Böyle çözümler var mı, varsa sonlu sayıda mı, hepsini hesaplamak mümkün mü? Fermat’ın son teoreminde de gördüğümüz üzere, bu tür sorular hem ilginç hem de zorlayıcı olabiliyor. Belki de bu nedenle, Hilbert’in 1900 yılında matematikçilere sunduğu 23 problemden biri Diophantus denklemleri hakkında: Sonlu sayıda işlemle, verilen bir Diophantus denkleminin tam sayılarda çözümü olup olmadığına karar veremeyecek bir algoritma bulmak.
Bu sonuç son hamleyi yapan Matiyasevich’in adıyla anılmakla beraber, aslında matematikteki birçok sonuç gibi bir takım oyunu. Özellikle Martin Davis, Hilary Putnam ve Julia Robinson’un çalışmalarının sonuca ulaşılmasında önemli bir rolü olur. Fikir kısaca şöyle: Bir Diophantine denkleminin katsayılarını parametre olarak görüp, hangi parametrelerde çözüm bulabiliyoruz bakmak istediğimizi düşünelim. Çözüm olan parametre gruplarına Diophantine kümeleri diyeceğiz. Olası çözümleri tek tek denemek eğer Diophantine kümesi içinde bir eleman alırsak sonlanacak, dışında bir eleman alırsak sonlanmayacak bir algoritma. Böyle algoritmaları sağlayan kümelere özyinelemeyle betimlenebilir kümeler (recursively enumerable sets) diyoruz. Bu ekibin parçalarını oluşturduğu, Matiasevich’in de son adımı attığı sonuç, aslında özyinelemeli kümelerin Diophantine kümeleri olduğunu gösterir. Hesaplanabilir olmayan özyinelemeli küme olduğu da bilindiği için, kanıt biter.
Leningrad Matematik Topluluğu’nun Genç Matematikçi Ödülü’nü alan Matiyasevich bugün 73 yaşında. Doktorasını aldığından beri USSR Bilim Akademisi’nin Matematik Araştırması Enstitüsü’nde çalışıyor. 1989’dan beri St. Petersburg Devlet Üniversitesi’nde profesör. 2008’de de Rus Bilim Akademisi’nden tam üyelik aldı, sadece en iyi Rus bilim insanlarının kabul edildiği prestijli bir araştırma organizasyonu. Aktif çalışmaya devam eden Matiyasevich’in 150’yi aşkın makalesi ve Hilbert’in 10. Problemi hakkında bir kitabı var. Matematiğin büyük problemleriyle yakın ilişkisini de koruyor olsa gerek ki, 2020’de Riemann Zeta fonksiyonu ile ilgili bir makale yayınlamış. Dilerseniz makaleye buradan ulaşabilirsiniz.
