Dünya üzerinde üçü A ülkesinde, üçü B ülkesinde 6 şehir seçelim. Eğer iki şehir aynı ülkeye ait değilse aralarında bir otoyol olsun. Ama kazaları önlemek ve hızı azaltmamak adına bu yolların birbirini kesmemesini istiyoruz. Bu şartları sağlayan bir karayolları haritası çizebilir misiniz?
Yanıt olumsuz. Bunu göstermenin bir kaç yolu var, biri de bir düzleme (veya küreye) çizgileri birbirini kesmeyecek bir şekilde bir çizge çizdiğimizde N-K+B=2 olacağını söyleyen Euler formülü. Burada N nokta sayımıza, K kenar sayımıza, B de bölge sayımıza denk geliyor.
Çizmek istediğimiz şekle bakalım. 3 nokta ve 9 kenarımızın olması gerektiği açık. Eğer şekli çizebilirsek -Euler formülüne göre- 5 bölgemiz olmalı. Bölgeler en az dört kenarlı olmalı, aksi halde aynı ülkeden iki şehri bağlamak zorunda kalırız. Her bölge için dört kenarımız olursa (iki defa saymamak için ikiye de bölerek) en az 10 kenara ihtiyaç duyarız.
Buradaki 2 sayısına düzlemin (ve kürenin) Euler karakteristiği deniyor. Başka tür şekillerin karakteristiği farklı olabiliyor. Meraklısına soru: Bu harita hangi şekillerin üzerinde çizilebilir?
