Kyoto Üniversitesi Matematiksel Araştırma Enstitüsünde çalışan Japon matematikçi Masaki Kashiwara (1947- ) cebirsel analiz, mikrolokal analiz, temsil teorisi gibi matematiğin pek çok alanında çalışmalar yapıyor. Brezilya’daki 2018 Uluslararası Matematik Kongresinde ‘Geçtiğimiz 50 yılda cebirsel analiz ve temsil teorisi alanlarına yaptığı sıradışı ve derin katkılardan dolayı’ Chern madalyasına layık görüldü. Bu yazıda Kashiwara’nın hayatıyla paralel ilerleyen matematiğine değineceğiz.
Mikrolokal Analiz ve Cebirsel Analiz
Kashiwara, Mikio Sato isimli bir Japon matematikçinin öğrencisiydi ve Sato’nun çalışmalarına kısaca değinmek, Kashiwara’nın çalışmalarının yönünü anlamak için de yardımcı olacaktır. 60’lı yıllarda doğrusal kısmi türevli denklemlere yeni bir yaklaşım getiren Sato, analizdeki soruları çözmek için iki sıra dışı fikir geliştirdi: birisi reel çokkatlılarla ilgili soruları anlamak için bunları karmaşık sayılar üzerinde ele almak, diğeriyse cebirsel geometride önemli bir rolü olan deste (sheaf) kohomolijisinden yararlanmak. Böylece mikrolokal analiz ve cebirsel analiz denilen konular ortaya çıktı.
D-Modül Teorisi
1970 yılında Tokyo üniversitesinde master tezini yazan Kashiwara da bu konularla ilişkili olarak D-modül adıyla bilinen modülleri tanımladı ve teorisini geliştirdi. D-modüller holomorfik katsayıları olan doğrusal kısmi türevli denklemler sistemlerine karşılık gelir. D-modül teorisi sayılar kuramından matematiksel fiziğe pek çok alanda etkili bir araç oldu.
Riemann-Hilbert Karşılıklığı
1974’te Kyoto Üniversitesinden doktorasını aldıktan sonra Riemann-Hilbert karşılıklığı olarak bilinen sanıyı kanıtladı. Bu çalışma kabaca bir Riemann yüzeyi üzerinde verilen sonlu nokta, ve her bir noktada bir matrise karşılık gelen tek bir Fuch diferansiyel denklemi olup olmadığı ile ilgiliydi.
Temsil Teorisi
Kashiwara’nın çalışmaları temsil teorisi, harmonik analiz ve kuantum grupları konularına çok büyük katkılar yaptı. Bu alanların cebirsel, kategorik, kombinatorik, geometrik ve analitik yönlerini yeni bir hale dönüştürdü. Lie cebirlerinin temsilleri ile ilgili Kazhdan-Lusztig sanısını çözdü, Lie gruplarının temsillerini D-modüller cinsinden yorumladı, mikrolokal analizi simplektik çokkatlılara genişletti.
İstatistiksel mekaniksel modellerde ortaya çıkan, q adında bir sıcaklık parametresine bağlı ve kuantum simetrileriyle ilişkili kuantum gruplarında, q=0 durumunda ortaya çıkan çok özel bir durumu gözlemledi: kristal bazlar. Kashiwara’nın kristal bazları temsil teorisinin çok temel ve önemli sorularından birisini cevapladı: Temsillerin tensör çarpımları, toplamsal olarak nasıl parçalara bölünür?
Kısacası Masaki Kashiwara, bütün çalışmaları boyunca matematiği cebir, analiz, diferansiyel denklemler, geometri gibi alanlar olarak değil, hepsinin bir bütün olarak gördü ve bir alanda geliştirilen teknikleri diğer alanların sorularına adapte etti. Bu sayede hem yeni çalışma alanlarına öncülük etti, hem de başka türlü elde edilememiş pek çok sonuca ulaştı. Hala çalışmalarına devam eden Kashiwara’yı ve çalışmalarını daha yakından tanımak isterseniz, Chern madalyası ödül töreni için hazırlanan 4 dakikalık videosunu ve ödül töreninde yaptığı kristal bazlar ve kategorileştirme başlıklı konuşmasını izleyebilir, Pierre Shapira’nın, Kashiwara’nın hayat boyu yaptığı çalışmaları özetleyen yazısını okuyabilirsiniz.
Biz de Kashiwara’ya hem çalışmalarından dolayı teşekkür ediyor, hem de hak ederek almış olduğu Chern Madalyasından dolayı bir kez daha kutluyoruz.
