{1, 2, … 28} kümesinden 14 sayı seçildiğinde, bu sayılar arasında her zaman a+b=c+d eşitliğini sağlayacak farklı a, b, c ve d sayıları bulabileceğimizi gösterin.
Cevap:
| Sayıları şekildeki gibi 4*7’lik bir tabloya oturtalım. Bir taşla iki kuş deyip aynı anda bu ayın takvimine de göz atabiliriz. |
 |
Sorunun cevabı için kilit bir gözlem şu: eğer şekildeki bir dikdörtgenin köşeleri kümemizdeyse, karşılıklı köşeleri toplayarak a+b=c+d eşitliğini elde edebiliriz. Peki seçtiğimiz 14 sayı içinde mutlaka bir dikdörtgenin köşeleri olmak zorunda mı? En az üçer kare seçtiğimiz iki sütun varsa, onların üzerinde bir dikdörtgen bulabileceğimiz açık. Dört kare seçtiğimiz bir sütun varsa işimiz daha da kolay, birden fazla kare seçtiğimiz her sütunla denkleşen bir ikili bulabiliriz. Eğer her sütundan tam ikişer kare seçmişsek de, dördün ikili kombinasyonları C(4,2)=6 olduğu için, tam aynı hizadaki sayıları seçtiğimiz iki sütun olmalı, gene dikdörtgen elde ediyoruz. Kaldı tek bir durum: Bir sütundan üç (simetrik bir durum olduğu için ilk sütun farz edebiliriz), beş tanesinden iki, bir tanesinden de tek bir kare seçelim. Eğer beş sütunun hiç biri ilk sütunla bir dikdörtgen oluşturmuyorsa, o zaman hepsi ilk sütunda olmayan kareyi ve diğer üç kareden birini içerir. Böyle üç farklı seçim mümkün, bizim ise elimizde beş sütun var, demek ki güvercin yuvası ilkesi gereği arada eşleşenler olacak ve gene dikdörtgen oluşacak. Doğru yanıt gönderen Kamil Kökdil’e teşekkür ederiz. |
