Haftanın Sorusu

Haftanın Sorusu #22’nin cevabı

28 Mart 2021

n elemanlı bir kümeden kendine giden n! eşleme vardır. Bu eşlemeler bileşke işlemi altında bir grup oluşturur. n elemanlı bir kümenin permütasyonlarından oluşan bu gruba n. simetrik grup denir ve Sym(n) olarak gösterilir.

Her sonlu grubun, bir n doğal sayısı için Sym(n)’in bir altgrubuna izomorf olduğunu gösteriniz.

Grubumuzun eleman sayısı $|G|=n$ olsun. Şimdi bir $g \in G$ için $\varphi_{g}: x \mapsto gx$ fonksiyonuna bakalım. Bu fonksiyon birebir ve örten çünkü: eğer $x$ ve $y$ elemanları aynı yere gidiyorsa $gx=gy$ eşitliğinde tarafları soldan $g^{-1}$ ile çarparak $x=y$ elde ederiz. Yani fonksiyon birebir. Örten olduğunu görmek içinse herhangi bir $a \in G$ alıp fonksiyonun görüntüsünde mi diye bakalım. Hemen fark ederiz ki $g^{-1}a$ ‘yı fonksiyonda değerlendirince $a$ elde ediyoruz. Demek ki bir eşleme. O halde $Sym(n)$ ‘in bir elemanı.

$G$ ‘nin her elemanı için bunun gibi bir eşleme buluruz. $G \to Sym(n): g \mapsto \varphi_{g}$ fonksiyonu bir homomorfidir. (Kanıtlayınız.) Birebir olduğunu da kolayca kanıtlayabiliriz. Bir $x \in G$ sabitleyip fonksiyonda aldığı değerlere bakalım. Az önce yaptığımız gibi sağdan $x^{-1}$ ile çarparsak istediğimizi kanıtlarız.

Bu homomorfinin görüntüsü bize $Sym(n)$ ‘in içinde ve $G$ ‘ye izomorf bir grup verdi. Demek ki her sonlu grubu bir $n \in \mathbb{N}$ için $n$ elemanlı bir kümenin permütasyonları grubunun altgrubu olarak görebiliriz.