Kenarları birbirini kesmeyen çizgelere düzlemsel diyoruz. Küre üzerinde N nokta ve K kenardan oluşan düzlemsel, tek parça bir çizge alalım. Bu çizgenin küre yüzeyini 2+K-N bölgeye ayırdığını gösterebilir misiniz?
Cevap: Başlangıçta küremizin üzerinde sadece bir nokta olsun. Bu durumda 2+K-N=2+0-1=1 bölge var, eşitlik sağlanıyor.
Her adımda yapabileceğimiz iki işlem var: bir noktadan başlayarak bir kenar ve ucuna yeni bir nokta eklemek veya olan iki nokta arasına bir kenar eklemek (Tek bir noktadan başlayıp bu iki işlemi uygulayarak her bağlantılı çizgeyi elde etmek mümkün).
İlk işlem bölge sayısını ve 2+K-N sayısını değiştirmiyor. İkinci işlem ise hem kenar sayısını hem de bölge sayısını 1 arttırıyor. Yani iki işlem de eşitliği bozmuyor.
Bu da bize gösteriyor ki küre üzerindeki her düzlemsel çizge küreyi 2+K-N bölgeye ayırır.
