Matematiğe yeni başlayanların bazen kapıldığı bir yanılgı vardır. Öğrenci bir önermenin tüm doğal sayılar için geçerli olduğunu kanıtlamak için 5’e kadar hesaplar. Bunun yeterli bir kanıt olmadığını duyunca da 6 için hesaplamaya başlar. Bu hafta bu hayalin gerçek olduğu 15 Teoremi ve bu teoremin basit bir kanıtını veren Fields Madalyalı matematikçi Manjul Bhargava’dan bahsedeceğiz.
1974’te Ontario Kanada’da doğan Bhargava, çocukluğunun çoğunu New York’ta geçirir. Matematikçi olan annesinden erken yaşta öğrendiği matematiğe çok meraklıdır, yer karosu dizilimlerini örüntü olarak görür, bir portakal yığını ise onun için bir cebir sorusudur. Bazen okulu asıp üniversitede annesinin derslerine girer ve arada tahtadaki hataları düzeltir. Matematiğe olan sevgisi müzisyen yönüne baskın gelir (Bhargava Hindistan’a özgü iki parçalı vurmalı bir çalgı olan tabla çalıyor. Tabla öğrendiği ustalar arasında Hindistan’ın en tanınmış tabla müzisyeni Üstad Zakir Hüseyin yer alıyor) ve matematik okumak için Harvard Üniversitesi’ne gider.
1996’da lisansını tamamladıktan sonra, doktora için Hertz bursu ile Princeton’a geçer. Doktorasında Fermat’ın son teoremini çözen kişi olarak tanınan Andrew Wiles (kendisinden 12. nüshamızda bahsetmiştik) ile çalışır. 2001’de doktorasını tamamlar. İleri Araştırma Enstitüsü ve Harvard Üniversitesi’nde birer sene geçirdikten sonra 2003’te Princeton kadrosuna profesör olarak katılır. En bilinen sonuçları arasında olan Gauss tipi kompozisyonlar dahil, sayı teorisi üzerine önemli çalışmalar yapar. Bu çalışmalarından, karesel formlar ile ilgili 15 ve 290 teoremlerini biraz daha yakından inceleyelim.
Tüm terimleri ikinci dereceden olan polinomlara karesel (kuadratik) form diyoruz. Eğer n tane değişkenimiz varsa, elimizdeki karesel formu nxn bir matrisle gösterebiliriz. Pozitif tanımlı (değişkenlerin hepsi 0’a eşit olmadığında sonucu hep pozitif) ve matrisinin girdileri tam sayı olan bir karesel form alalım. 15 Teoremi diyor ki: Bu karesel form 1’den 15’e kadar tüm değerleri alıyorsa, o zaman tüm doğal sayı değerleri alır (Bunu sağlayan tam 204 tane karesel form var).
Eğer pozitif tanımlı karesel formumuzun katsayıları tam sayı olsun istersek (bu daha hafif bir koşul, katsayılar tam sayı olup matris tam sayı olmayan örnekler var) bu sefer biraz daha hesap yapmak gerekiyor, zira bu sefer 15 değil 290 Teoremi var elimizde: Böyle bir karesel form 1’den 290’a tüm değerleri alıyorsa, o zaman tüm doğal sayı değerlerini alır (bunu sağlayan ise tam 6436 karesel form var). 15 teoremine önceden bilinene oranla çok daha kolay bir kanıt veren Bhargava, sonrasında Jonathan Hanke ile 290 teoremini kanıtlar.
2014’te sayıların geometrisi üzerine çalışmaları sayesinde Fields Madalyası’nı alan Bhargava, bu madalyaya layık görülen Hint asılı ilk matematikçi olur (Aklına Hint asıllı başka bir genç matematikçi olan Ramanujan gelenler için küçük bir not: Fields Madalyası Ramanujan hayatını kaybettikten yıllar sonra verilmeye başlanmış. Ramanujan’ın adına verilen ödüller var, 32 yaşından genç ve Ramanujan’a yakın alanda çalışan matematikçilere verilen SASTRA Ramanujan Ödülü gibi. Bhargava aynı zamanda bu ödülü ilk alan iki kişiden biri). Princeton’daki pozisyonuna bir yıl Hindistan’daki eğitim sistemi üzerine çalışmak için ara veren Bhargava’nın aldığı ödüllerden biri de Hindistan’da sivillere verilen 3. en büyük ödül olan Padma Bhushan.
Kaynakça
- Bloomberg Quint, Make Math Education Fun, Says Fields Medal Winner Manjul Bhargava, 2019.
- Yong Suk Moon, Universal Quadratic Forms and the 15-Theorem and 290-Theorem, 2008.
