{1, 2, …, 10} kümesinden kendisinde giden ve üç kere üst üste uygulandığında birim fonksiyonu veren kaç fonksiyon vardır?
Cevap:
Bir kümeden kendisine giden fonksiyonları pratik bir şekilde gösterebiliriz. Sorudaki şartı sağlaması her eleman ya sabitlenmeli, ya da derecesi 3 olan, yani üç elemandan oluşan bir döngü içinde olmalı. Elimizde 4 seçenek var: 0, 1, 2 veya 3 döngü kullanmak. 4. döngüde 10’u aşıyoruz.
- 0 döngü: Tek seçenek var; birim fonksiyon.
- 1 döngü: Döngüde olacak 3 sayıyı C(10,3)=120 farklı şekilde seçebiliriz. Her seçim iki farklı döngü vereceği için (abc) ve (acb) döngüleri farklı toplam 240 farklı fonksiyon elde ederiz.
- 2 döngü: İlk döngü için 2*C(10,3) seçenek, ikincisi için 2*C(7,3) seçenek var.Ama (abc)(def) ve (def)(abc) aynı fonksiyonu verdiğinden ikiye bölmeliyiz. 8400 fonksiyon da buradan gelir.
- 3 döngü için de benzer hesapları yaparak 22400 sayısını elde ederiz.
Toplamda 31041 fonksiyon bulduk.
